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\begin{document}
\begin{multicols*}{3}

Name:\\
Matrikelnr.:\\

\textbf{Quelle unabh. Ereignisse}:\\
$H_m = \sum^{N}_{i=1} p(x_i) ld \frac{1}{p(x_i)}$ - Mittelwert/Entropie [bit/Z]\\
$H_0 = ld N$ - Gleichverteilung/max. Entropie\\
$p(x_i)$ - Wahrsch. eines Zeichens\\

\textbf{Markowquelle 1. Ordnung}:\\
$p(y|x)$ - \"Ubergangswahrsch. von y unter Bed. x\\
$
(p(y_j|x_i)) = 
\left(
\begin{smallmatrix}
 p(y_1|x_1) & p(y_2|x_1)\\
 p(y_1|x_2) & p(y_2|x_2)\\
\end{smallmatrix}
\right)
$\\
$H_M = \sum^{N}_{i=1} \overline{p(x_i)} \sum^{N}_{j=1} p(x_j|x_i) ld \frac{1}{p(x_j|x_i)}$ [bit/Z]\\
$(p_j^{(t+1)}) = (p_i^{(t)})(p(x_j|x_i))$\\
$
\overline{p_1} = \overline{p_1}p(x_1|x_1) + \overline{p_2}p(x_1|x_2) + \ldots + \overline{p_N}p(x_1|x_N),\\
\overline{p_2} = \overline{p_1}p(x_2|x_1) + \overline{p_2}p(x_2|x_2) + \ldots + \overline{p_N}p(x_2|x_N),\ldots\\
\overline{p_1} + \overline{p_2} + \ldots + \overline{p_N} = 1
$\\
$\overline{p(x)}$ - station\"arer Zustand\\

\textbf{Verbundquelle}:\\
$H(X,Y) = H(X) + H(Y|X)$ - Verbundentropie\\
$H(Y|X) = \sum_i p(x_i) \sum_j p(y_j|x_i) ld \frac{1}{p(y_j|x_i)}$ - bedingte Entropie\\
$p(x_i,y_j) = p(x_i) \cdot p(y_j|x_i)$ - Verbundwahrsch. der Folge xy\\

\textbf{erweiterte Quelle}:\\
$X^m = \{x_1^m,x_2^m,\dots,x_{N^m}^m\}$ mit $x_i^m=(x_{i1} x_{i2} \dots x_{iN})$\\
$H(X^m) = m \cdot H(X)$\\
$l_m = \frac{L_m}{m}$\\
$R_k = l_m - H_m$ - Koderedundanz\\
$H_T = H(X) - \underbrace{H(X|Y)}_{\textrm{R\"uckschlussentropie}} = H(Y) - \underbrace{H(Y|X)}_{\textrm{St\"orentropie}} = H(X) + H(Y) - H(X,Y)$\\

\textbf{symmetrisch gest\"orter Bin\"arkanal}:\\
$H(Y|X) = (1-p_s)ld\frac{1}{(1-p_s)} + p_sld\frac{1}{p_s}$\\
\textbf{einseitig gest\"orter BK}:\\
$\varepsilon = p_s, \delta = 0\\
\Rightarrow H(Y|X) = p(x_0)[(1-p_s)ld \frac{1}{1-p_s} + p_sld\frac{1}{p_s}]$\\
\textbf{gest\"orter BK mit Ausl\"oschungszeichen}:\\
$p(1|0) =: p_s = \varepsilon, p(AZ|0) =: \delta\\
\Rightarrow H_T = (1-\delta) + (1-\delta)ld\frac{1}{1-\delta} - \varepsilon ld \frac{1}{\varepsilon} - (1 - \varepsilon - \delta)ld \frac{1}{1-\varepsilon - \delta}$\\

\columnbreak

\textbf{\"Ubertragung}:\\
$I_Q$ - Quelleninformationsfluss\\
$I_{KQ}$ - Quellenkodeinformationsfluss\\
$I_{KK}$ - Kanalkodeinformationsfluss\\
$I_K = v_{\textrm{\"u}}$ - Kanalinformationsfluss = \"Ubertragungsgeschw.\\
$I_T$ - Transinformationsfluss\\
$f_Q$ - Quellensymbolfrequenz [QZ/s]\\
$v_s$ - Schrittgeschwindigkeit [KZ/s]\\

$l \ge \frac{H_Q}{H_K}$ [KZ/QZ], gleichm. Kodierung: $l = \lceil \frac{H_0}{H_K} \rceil$\\
$n = l + \Delta l = l + \left( \frac{H_K}{H_T} - 1 \right)l+k$\\
$H_K = ld\ Z$ [bit/KZ]\\
$I_Q = f_Q \cdot H_Q$\\
$I_{KQ} = f_Q \cdot l \cdot H_K$ [bit/s]\\
$I_{KK} = f_Q \cdot n \cdot H_K$ [bit/s]\\
$I_K = v_{\textrm{\"u}} = v_s \cdot H_K$ [bit/s]\\
$I_T = v_s \cdot H_T$ [bit/s]\\
\textrm{ungesichert}:\\
$v_s = \frac{I_{KQ}}{H_K} = \frac{I_T}{H_T} = f_Q \cdot l$\\
$I_{K_{\textrm{[unges]}}} = I_{KQ} = f_Q \cdot l \cdot H_K$\\
\textrm{gesichert}:\\
$I_T = I_{KQ}$\\
$v_s = f_Q \cdot l \cdot \frac{H_K}{H_T} = \frac{I_{KQ}}{H_T} = \frac{I_{KK}}{H_K} = f_Q \cdot n$\\
$I_{K_{\textrm{[ges]}}} = I_{KK} = f_Q\left( l \cdot \frac{H_K}{H_T} \right) \cdot H_K = f_Q \cdot n \cdot H_K = v_s \cdot H_K$\\

$C = max\{I_T\} = max\{v_s \cdot H_T\} = v_{s_{max}} \cdot H_{T_{max}} = 2 \cdot B \cdot H_{T_{max}}$\\
$v_{s_{max}} = 2 \cdot B$\\
$B \ge \frac{v_s}{2}$\\
$f_A = f_Q = 2 \cdot f_G$\\
$t_{\textrm{\"u}} = \frac{H_Q \cdot \textrm{Anz. Kanalzeichen}}{C}$ [s]\\

\textbf{ADU}:\\
$r$ - Rauschabstand [dB]\\
$l = \lceil ld\ m \rceil$ [KZ/QZ]\\
$t_u \le \frac{1}{2 \cdot f_g}$ - Umsetzzeit [s]\\
$H_T \approx 0,166 \cdot r$\\
$C \approx 0,332 \cdot B \cdot r$\\

$\sigma^2 = \sum_i \left( p(x_i) \left( ld \frac{1}{p(x_i)}\right)\right) - H_m^2 $ - \textbf{Streuung}\\
$\sigma$ \textbf{Standardabweichung}\\
\columnbreak

\textbf{Kanalkodierung}:\\
$R = \frac{l}{n}$ - Koderate\\
$\mathbb{Z}_2: d(a_i,a_j) = \sum^n_{g=1} (u_{ig} \oplus u_{jg})$ - Hamming-Distanz\\
$w(a_i) = \sum^n_{j=1}u_{ij}$ - Hamming-Gewicht\\
$f_e = d_{min} - 1$\\
$f_k = \lfloor \frac{d_{min}-1}{2} \rfloor$\\
$2^k \ge \sum^{f_k}_{i=0} {l+k \choose i}$ - Hamming-Schranke\\ 
${n \choose i} = \frac{n!}{i!(n-i)!} = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-i+1)}{i(i-1)(i-2)\dots1}$\\

$G = IC, H=C^TI$\\
$s = H \cdot b^t = H \cdot e^t$\\
$a_i = a_i^* \cdot G$\\

\textbf{Zyklische Kodes}:\\
$k_1 = grad(M(x))$\\
$n \le 2^{k_1} - 1$\\
$k = grad(g(x))$\\
$d_{min} = x - \mu + 2$\\
zykl. Hamming-Kode: $g(x) = M(x) = m_1(x)$\\
Abramson-Kode: $g(x) = m_0(x)\cdot m_1(x)$\\

Multiplikationsverfahren: $a(x) = a^*(x) \cdot g(x)$\\
Divisionsverfahren: $a(x) = a^*(x) \cdot x^k + r(x), r(x) = (a^*(x) \cdot x^k)\ mod\ g(x)$\\
Generatormatrix: G =
$
\left(
\begin{smallmatrix} 
	g(x)\\
	g(x) \cdot x\\
	g(x) \cdot x^2\\
	\hdots\\
\end{smallmatrix}
\right)
, a(x) = a^*(x) \cdot G$\\

$s(x) = b(x)\ mod\ g(x) = e(x)\ mod\ g(x)$\\
B\"undelfehler: $f_b \le k$\\
$1-2^{-k}$ erkennbare Fehler\\

$\sum^n_{i=0}2^{-l_i} \le 1$ - Kraftsche Ungleichung\\
\end{multicols*}
\end{document}